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数学解题方法

文章作者:佚名 责任编辑:admin 发布时间:2011/8/12 17:18:30


一、换元法  

    “换元”的思想和方法,在数学中有着广泛的应用,灵活运用换元法解题,有助于数量关系明朗化,变繁为简,化难为易,给出简便、巧妙的解答。  

   在解题过程中,把题中某一式子如f(x),作为新的变量y或者把题中某一变量如x,用新变量t的式子如g(t)替换,即通过令f(x)=yx=g(t)进行变量代换,得到结构简单便于求解的新解题方法,通常称为换元法或变量代换法。  

    用换元法解题,关键在于根据问题的结构特征,选择能以简驭繁,化难为易的代换f(x)=yx=g(t)。就换元的具体形式而论,是多种多样的,常用的有有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换,三角式代换,反三角式代换,复变量代换等,宜在解题实践中不断总结经验,掌握有关的技巧。  

    例如,用于求解代数问题的三角代换,在具体设计时,宜遵循以下原则:(1)全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质;(2)力求减少变量的个数,使问题结构简单化;(3)便于借助已知三角公式,建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则,才能谋取恰当的三角代换。  

    换元法是一种重要的数学方法,在多项式的因式分解,代数式的化简计算,恒等式、条件等式或不等式的证明,方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解,函数表达式、定义域、值域或最值的推求,以及解析几何中的坐标替换,普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中,都有着广泛的应用。  

二、消元法  

    对于含有多个变数的问题,有时可以利用题设条件和某些已知恒等式(代数恒等式或三角恒等式),通过适当的变形,消去一部分变数,使问题得以解决,这种解题方法,通常称为消元法,又称消去法。  

    消元法是解方程组的基本方法,在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中,也有着重要的应用。  

    用消元法解题,具有较强的技巧性,常常需要根据题目的特点,灵活选择合适的消元方法。  

三、待定系数法  

    按照一定规律,先写出问题的解的形式(一般是指一个算式、表达式或方程),其中含有若干尚待确定的未知系数的值,从而得到问题的解。这种解题方法,通常称为待定系数法;其中尚待确定的未知系数,称为待定系数。  

    确定待定系数的值,有两种常用方法:比较系数法和特殊值法。  

(一)比较系数法  

    比较系数法,是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数,得到关于待定系数的若干关系式(通常是多元方程组),由此求得待定系数的值。  

    比较系数法的理论根据,是多项式的恒等定理:两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等,即a0xn+a1xn-1+ +anb0xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要条件是 a0=b0,  a1=b1,……  an=bn       

(二)特殊值法  

    特殊值法,是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式,由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式,由此求得待定系数的值。  

    特殊值法的理论根据,是表达式恒等的定义:两个表达式恒等,是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母,恒等式左右两边的值总是相等的。  

    待定系数法是一种常用的数学方法,主要用于处理涉及多项式恒等变形问题,如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。  

四、判别式法  

    实系数一元二次方程ax2+bx+c=0  (a0)          

的判别式△=b2-4ac具有以下性质:  

                                             0,当且仅当方程①有两个不相等的实数根  

     0,当且仅当方程①有两个相等的实数根;  

       0,当且仅当方程②没有实数根。  

对于二次函数  

        y=ax2+bx+c  (a0)②它的判别式△=b2 -4ac 具有以下性质:  

           0,当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点;  

      0,当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点;  

         0,当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。  

    利用判别式是中学数学的一种重要方法,在探求某些实变数之间的关系,研究方程的根和函数的性质,证明不等式,以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面,都有着广泛的应用。  

    在具体运用判别式时,①②中的系数都可以是含有参数的代数式。  

从总体上说,解答数学题,即需要富有普适性的策略作宏观指导,也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理,只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来,创造性地加以运用,才能成功地解决面临的问题,获取良好的效果。  

五、 分析法与综合法  

    分析法和综合法源于分析和综合,是思维方向相反的两种思考方法,在解题过程中具有十分重要的作用。  

在数学中,又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法,而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法,后者称为综合法。  

具体的说,分析法是从题目的等证结论或需求问题出发,一步一步的探索下去,最后达到题设的已知条件;综合法则是从题目的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证的结论或需求问题。  

六、 数学模型法  

数学模型法,是指把所考察的实际问题,进行数学抽象,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法。  

  利用数学模型法解答实际问题(包括数学应用题),一般要做好三方面的工作:  

(1)    建模。根据实际问题的特点,建立恰当的数学模型。从总体上说,建模的基本手段,是数学抽象方法。建模的具体过程,大体包括以下几个步骤:  

 1o考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系,弄清哪些是常量,哪些是变量,哪些是已知量,哪些是未知量;了解其对象与关系结构的本质属性,确定问题所及的具体系统。  

2o分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发,根据有关学科理论,抓住主要矛盾,考察主要因素和量的关系。  

3o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象,并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用,可以根据实际情况,建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。  

2)推理、演算。在所得到的数学模型上,进行逻辑推理或数学演算,求出相应的数学结果。  

(3)    评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价和解释,返回到原来的实际问题中去,形成最终的解答。  

七、试验法  

     解答数学题,需要多方面的信息。数学中的各种试验,常常能给人以有益的信息,为分析问题和解决问题提供必要的依据。  

     用试验法处理数学问题时,必须从问题的实际情形出发,结合有关的数学知识,恰当选择试验的对象和范围;在制定试验方案时,要全面考虑试验的各种可能情形,不能有所遗漏;在实施试验方案时,要讲究试验技巧,充分利用各次试验所提供的信息,以缩小试验范围,减少试验次数,尽快找出原题的解答。  

    任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验,试验离不开观察。因此,要用好试验法,必须勤于观察,善于观察,有目的、有计划、有条理地进行观察。  

八、分类法  

    分类法是数学中的一种基本方法,对于提高解题能力,发展思维的缜密性,具有十分重要的意义。  

    不少数学问题,在解题过程中,常常需要借助逻辑中的分类规则,把题设条件所确定的集合,分成若干个便于讨论的非空真子集,然后在各个非空真子集内进行求解,直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来,用以指导解题的方法,通常称为分类或分域法。  

    用分类法解题,大体包含以下几个步骤:  

    第一步:根据题设条件,明确分类的对象,确定需要分类的集合A  

    第二步:寻求恰当的分类根据,按照分类的规则,把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1A2,…An;  

    第三步:在子集A1A2,…An内逐类讨论;  

    第四步:综合子集内的解答,归纳结论。  

以上四个步骤是相互联系的,寻求分类的根据,是其中的一项关键性的工作。从总体上说,分类的主要依据有:分类叙述的定义、定理、公式、法则,具有分类讨论位置关系的几何图形,题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时,仅凭这些还不够,还需要有较强的分类意识,需要思维的灵活性和缜密性,特别要善于发掘题中隐含的分类条件。     

九、数形结合法  

     数形结合,是研究数学的一个基本观点,对于沟通代数、三角与几何的内在联系,具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法,有助于增强人们的数学素养,提高分析问题和解决问题的能力。  

     数和形这两个基本概念,是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以互相转化。  

     数形结合的基本思想,是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案。  

     中学数学中,数形结合法包含两个方面的内容:一是运用代数、三角知识,通过对数量关系的讨论,去处理几何图形问题;二是运用几何知识,通过对图形性质的研究,去解决数量关系的问题。就具体方法而论,前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等;后者常用的方法主要是图解法。  

十、反证法与同一法  

      反证法和同一法是间接证明的两种方法,在解题中有着广泛的应用。  

(一)反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。  

    反证法的解题步骤:  

    第一步:反设。假设命题结论不成立,即假设原结论的反面为真。  

    第二步:归谬。由反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾,与已知条件矛盾,与临时假设矛盾,以及自相矛盾等各种情形。  

    第三步:存真。由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立。  

反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提,归谬是关键,存真是目的。只有正确地作出反设,合乎逻辑地进行推导,才能间接地证出原题。  

十一、同一法  

    互逆的两个命题未必等效。但是,当一个命题条件和结论都唯一存在,它们所指的概念是同一概念时,这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。  

    对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证和它等效的逆命题,只要它的逆命题正确,这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。  

    同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题,一般包括下面几个步骤:  

    第一步:作出符合命题结论的图形。  

    第二步:证明所作图形符合已知条件。  

    第三步:根据唯一性,确定所作的图形与已知图形重合。  

第四步:断定原命题的真实性。  


关键词: 数学解题
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