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数学只是一种工具

文章作者:佚名 责任编辑:admin 发布时间:2012/10/30 18:29:48


数学只是一种工具,这是我最近才意识到的。

出于一种究根问底的良好习惯,我对于讲不清来龙去脉、不能说明“为什么”的事情,会有本能地排斥感,拒绝接受它,也拒绝记忆它。

学习数学分析的时候,就常常感到很疑惑。比如“极限”这部分,那些用不等号来刻画的严密的数学语言我自是无法辩驳,但心里总觉得这个理论体系的逻辑是不连贯的,很难接受这种从初等数学到高等数学的骤然转变,不知道它究竟为什么要用这样奇怪的方式去描述。虽然我相信历代数学家们所建立的体系足够健壮,可以正确的解决一些实际问题,但我在使用这套东西的时候,心里始终都在犯嘀咕,因为不了解它的来龙去脉,就和它有隔阂,使用其来就很不坦然。

后来,我找了一些资料来看,才粗粗地对其发展的脉络有了些了解。才明白现代的数学分析的建立之路其实也是颇为曲折的。

牛顿最初使用微积分工具时,其理论体系是很不完善的。比如:“无穷小到底是不是0”这个问题。如果说它不是0,为什么在计算中有时可以将其忽略,如果是0,为什么它又可以做分母?类似的质疑其实很多,比如有一个爱尔兰的一个地方主教,叫Berkeley,编写了一本小册子《分析学家,或致一位不信神的数学家》,目的在于宣扬宗教,其中挖苦道:“连牛顿的微积分,无穷小量那样模糊不清、逻辑混乱的东西都可以相信,为什么你们却不肯相信上帝呢?”,他还两次引用了牛顿的原话“在数学中,最微小的误差也不可忽略”来对牛顿的“舍弃高阶无穷小”的行为进行讽刺。(这个故事来自齐友民所写的《重温微积分》)但当时对于这类问题的确无法给出圆满的回答,18世纪许多卓越的数学家为此绞尽了脑汁。就是在种种质疑中,数学得到了不断的完善和发展,经历了阿贝尔、柯西等人的努力,到了魏尔斯特拉斯的时候,微积分才成为了现在我们学习的样子,成为了无可辩驳的严密体系。于是我明白了,这些看起来奇奇怪怪的东西,其之所以会成为现在这个样子,都是有其历史因素的,并非先贤们在一开始就使用了这样奇怪的形式来为难我们。

在一开始的时候,我不知道 dy/dx 这个东西到底是应该看做一个整体表示y对于x的导数,还是可以分开来看作y的微分除以x的微分。当时根据教材上的定义,我看到了一些矛盾之处,查找了很多书而没有答案,很是困扰我。类似这样的基本问题如果不解决,那我就对于基于此的更高层次的应用没有信心,也就是说,我就因此不相信这个理论体系是正确的,于是后边的一些定理就无法放心去应用。后来我就此一问题咨询过张,问到深处,他说“这种问题你得去问数学老师了。而且你没必要想这种东西,数学只是一个工具,你懂得用它就好了。”当时我也没当回事儿,后来的某一天,我却忽然觉得这话说的非常击中要害。因为那天我忽然醒悟过来:“对于非数学专业的人来说,数学只是一个工具,就好像钳子,你懂得怎么使用钳子就好了,不必去管钳子的设计原则和钳子的发展史。”

这个“数学只是工具”的看法对我来说是意义非凡的,因为从此我不再纠结于数学中一些深奥晦涩的东西了,这相当于一种解放。

下面来具体阐述一下“数学只是工具”这一想法。

对于我们习以为常的6+7=13这个式子,我在很久以前问过自己两个问题:
一:为什么我们看到一堆东西就可以说它是7个,而看到另一堆东西就可以说它是6个,现有的数字系统和现实世界为什么是以这样的规则对应起来,而不是用另一套体系对应起来呢?
二:为什么这两堆放在一起就是13个呢,是谁规定了7+6=13,为什么7+6不是等于15?

先来回答第一个问题:最初没有数字的概念,但是由于人们需要进行交流,需要用一种方法来描述物体的个数。最方便的方式当然是伸指头,最初的先民们想说他们有7个果子的时候,就伸出7个手指头来表示,时间久了,他们觉得每次都伸指头很不方便,就约定:“我们用一个符号来表示这堆果子的个数吧,不妨就写成‘7’的样子,那么我们来给它规定一个发音吧,不妨就念作“塞文””,于是以后再想说有7个果子时,他们就不用伸手指头了,而是直接说有"塞文"个。本质上,这是一种约定,只要大家都接受这种约定,那么我们就可以用符号来表示一些由于生活需要而业已形成的却无法进行清晰描述的概念。

从此,先民们不在需要用手指头来指代数量了。因为他们有了“数字”这样一种被普遍认可的约定,由于这一约定被普遍认可和接受,“数字”成为了一个强大的工具。

然后是第二个问题:为什么7+6=13而不是15呢?当我们把7个果子和6个果子放到一起时,我们说这是13个果子,这本质上也是一种约定。你完全可以说7+6等于“@”,只要大家都认同你这个“@”的表示方法就行,这只是个符号问题,就好像f(x)=x 和 f(y)=y所表示的其实是同一函数,只是符号不同而已。 那么为什么我们习惯使用十进制呢?《编码的奥秘》一书中有一句简单有力的回答:“我们之所以习惯于10进制,是因为我们正好有10个指头。” 在伸手指头表示数字的年代,当要表示十个以上的数字时,我们就发现手指头不够用了。这时候就必须先做一记号,来说明我已经表示了10个,现在伸出的手指头数目,只是我所要表示的数的零头。久而久之,就演变成为“十进制”了。如果人正好有8根手指,那我们现在就一定很习惯于8进制。那么现在也就没有9的概念,于是7+6就等于15了。

你看,关于数学的一切,只是一种约定而已。今天这个庞大而繁复的数学体系,都建立在最初的基本约定之上,然后经由逻辑的推导演绎而一步步发展壮大。但本质上,这都是一种约定。

所以我们学习数学,并不是因为数学本身包含了什么哲理(像很多人说的那样,数学和哲学结伴而行),而是因为它为我们提供了一种描述世界的简洁、精确、高效的语言。 数学和其它所有语言的本质一样,都是一种约定,当大家普遍接受了这个约定之后,就可以用这样的语言来交流、描绘和刻画各自对世界的看法。

当我们用微积分求出一个不规则物体的面积时为13.4cm^2时,这个数字只对于我们这些学习过数学的人来说才有意义。对于那些从未受过数学教育的幼童来说,13.4cm^2在他脑子中根本是毫无概念的。直到某一次,他爸爸伸出手掌,对他说“看,这个巴掌差不多有15cm^2,他才感性地认识到,原来15cm^2差不多有这样大啊。”,慢慢地,由于生活的经验,他在现实世界和数字之间建立了一些感性的联系,接受了现有的数学体系,于是以后你告诉他,一个东西差不多有15cm^大时,他不必再看到这个东西,就知道它有多大了。

数学往高处走,也还是一样,本质上是为了我们能够方便的刻画和描述世界,其发展的动力和方向都来自于实际的需要,而很少有脱离现实的研究。比如微积分的发明,最初是为了解决物理问题。对于这样一种约定性质的东西,我们非数学专业的人士是不必去穷尽它的所有奥秘的,这些细部的完善和微妙的推敲,留给数学家去完成就好了,正如我们平常人知道怎么说话、怎么用语言来表达我们的思想就够了,更专业的东西留给语言学家去做就好了。

我们应该懂得我们学科的边界,不必要把数学问题延伸到哲学层面去考虑。从约定而发展过来的东西,有时候含有很多偶然性,并不一定能够讲明白为什么会演变成为今天这个样子。黄仁宇在《中国大历史》里说的一句话很好地说明了这个道理:年久月深,当初技术上的需要,日后也被认为是自然法规之一部。

我们需要明白,宇宙的奥妙并不存在与数学本身之中,我们只是需要利用数学的力量去发现和阐明宇宙的奥妙。


关键词: 数学 工具
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